在卷積神經網路中，卷積層通過將卷積核（kernel）應用於輸入數據，提取局部特徵。這個操作的數學形式類似於信號處理中的卷積積分，但在 CNN 中，我們通常使用離散的卷積和（convolution sum）。

假設輸入數據為 $X$，卷積核為$W$，卷積操作：

$$ Y[i, j] = \sum_{m} \sum_{n} X[i + m, j + n] \cdot W[m, n] $$

這個公式代表在輸入數據 $X$ 上進行滑動窗口操作，通過卷積核 $W$ 提取局部區域的特徵，並將結果輸出到 Y 中。

• $X[i + m, j + n]$：代表輸入數據中從位置 $i,j$ 開始的區域
• $W[m, n]$：代表卷積核的權重
• $Y[i, j]$：代表輸出結果

這個操作通過重複應用卷積核，遍歷整個輸入數據來生成特徵映射（feature map）。

卷積操作中的數值運算

1. 卷積層

卷積層是 CNN 的核心，它將輸入數據 $X$ 通過卷積核 $W$ 進行卷積操作，生成特徵圖 $Y$。卷積層的數值運算特點在於：

• 權重共享：卷積核在輸入數據的不同區域共享相同的權重，這大大減少了需要學習的參數數量。
• 局部感受野：卷積核只作用於輸入數據的局部區域，這有助於 CNN 提取局部特徵。

假設輸入數據 X 是大小為 $5 \times 5$ 的矩陣，卷積核 $W$ 是 $3 \times 3$ 的矩陣，卷積操作的具體計算步驟：

$$ Y[1,1] = X[1,1] \cdot W[1,1] + X[1,2] \cdot W[1,2] + ... + X[3,3] \cdot W[3,3] $$

這種局部計算隨著卷積核的滑動在整個輸入上進行，最終生成一個新的特徵圖。

2. 激活函數

卷積層的輸出通常會經過非線性激活函數，例如ReLU（Rectified Linear Unit）。

$$ f(x) = \max(0, x) $$